Δευτέρα, Δεκεμβρίου 22, 2014

Τι θα συνέβαινε αν η βαρύτητα δεν ακολουθούσε επακριβώς το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου;

Πως ξέρουμε ότι η δύναμη της βαρύτητας ακολουθεί ακριβώς το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου, δηλαδή πως ξέρουμε ότι ο εκθέτης του r στο νόμο της παγκόσμιας έλξης είναι 2 και όχι πχ 2.00001; Τι θα συνέβαινε τότε; Πως θα μοιάζαν οι τροχιές των πλανητών; 

Αυτή είναι μια ερώτηση που κάνουν συχνά οι υποψιασμένοι μαθητές. Η σύντομη απάντηση που θα μπορούσαμε να δώσουμε είναι πως στα πλαίσια των θεωριών που επιχειρούν να ενοποιήσουν όλες τις δυνάμεις, οι διαστάσεις του χώρου είναι περισσότερες από τρεις και ο νόμος της παγκόσμιας έλξης δε θα πρέπει να ισχύει στη μορφή αυτή σε πολύ μικρές αποστάσεις. Υπάρχουν μάλιστα σε εξέλιξη πειράματα που ερευνούν τις αποκλίσεις της βαρύτητας από το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου αλλά ως τώρα δεν έχει υπάρξει κάποιο αποτέλεσμα στα όρια της ακρίβειας των πειραμάτων.

Αυτό όμως δεν καλύπτει τους μαθητές καθώς αγνοούν τις θεωρίες αυτές και αυτό που πραγματικά θέλουν να μάθουν είναι πως θα επηρέαζε η απόκλιση του εκθέτη από το 2 τις τροχιές σωμάτων που γνωρίζουμε, όπως ο Ηλιος και η Γη. Για το λόγο αυτό, προσπάθησα να γράψω ένα κείμενο που να εξηγεί επακριβώς τις συνέπειες της απόκλισης του εκθέτη από το 2 σε επίπεδο τροχιών. Γράφοντας το κείμενο αυτό ξεκαθάρισα κι εγώ κάποια πράγματα στο μυαλό μου για το ζήτημα. Εδώ θα συνοψίσω απλώς κάποια συμπεράσματα, και για το πλήρες κείμενο παραπέμπω στο τέλος της ανάρτησης. Ας θεωρήσουμε λοιπόν ότι η δύναμη της βαρύτητας ακολουθεί το νόμο
όπου ε ένας μικρός αριθμός, και ας δούμε κάποιες από τις συνέπειες.

Η μορφή των τροχιών

Αν ο εκθέτης του r στο νόμο της παγκόσμιας έλξης ήταν λίγο διαφορετικός από το 2, οι τροχιές δε θα ήταν πλέον κλειστές αλλά τα περιήλια και τα αφήλιά τους θα παρουσίαζαν μετάπτωση. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόκλιση του εκθέτη από το 2 τόσο μεγαλύτερη και η γωνιακή τους μετατόπιση ανά περιστροφή. Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται μια τέτοια τροχιά (με πράσινο χρώμα) η οποία αντιστοιχεί σε ε=0.02. Με κόκκινο χρώμα φαίνεται η ελλειπτική τροχιά που αντιστοιχεί στο νόμο της βαρύτητας με ε=0.
Η κίνηση αυτή, που ονομάζεται μετάπτωση του περιηλίου (και του αφηλίου), είναι συνηθισμένη για τους πλανήτες: το περιήλιο της Γης μεταπίπτει κατά 11.45 δευτερόλεπτα της μοίρας ανά έτος ενώ η αντίστοιχη μετάπτωση για τον Ερμή είναι 5.74. Η μεταπτωτική αυτή κίνηση των πλανητών οφείλεται όχι στην απόκλιση από το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου αλλά στη μεταξύ τους βαρυτική αλληλεπίδραση. Αν η δύναμη δεν ακολουθούσε το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου, θα υπήρχε μια επιπλέον (πολύ μικρότερη συγκριτικά) μετάπτωση στα περιήλια των πλανητών.  Η γωνιακή μετατόπιση του περιηλίου ανά περιστροφή, για μικρές εκκεντρότητες (δηλαδή για τροχιές αρκετά κοντά στην κυκλική), μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι εξαρτάται από την απόκλιση ε με τη σχέση:

Το περιήλιο του Ερμή, η απόκλιση από το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου, ο πλανήτης Vulcan (Ήφαιστος) και η Γενική Σχετικότητα

Η ιστορία της μετάπτωσης του περιηλίου του Ερμή είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα ιστορία που καταδεικνύει με τον καλύτερο πιστεύω τρόπο (και τον προσιτότερο στους μαθητές που δε γνωρίζουν από κβαντομηχανική) την αλλαγή του "παραδείγματος" στα πλαίσια μιας "επιστημονικής επανάστασης" (κατά τον Kuhn). Αξίζει να τη δούμε λίγο σε αυτό το πλαίσιο. Μια πλήρη περιγραφή μπορούμε να βρούμε εδώ: http://www.math.toronto.edu/~colliand/426_03/Papers03/C_Pollock.pdf καθώς και στο βιβλίο In search of planet Vulcan.

Η μετατόπιση λοιπόν του περιηλίου του Ερμή έχει ιδιαίτερη ιστορική σημασία καθώς αποτέλεσε την πρώτη επιτυχή ερμηνεία παρατηρησιακών δεδομένων με τη γενική θεωρία της Σχετικότητας. Ο Ερμής, ο πλησιέστερος προς τον Ήλιο πλανήτης, κινείται σε τροχιά μεγάλης σχετικά εκκεντρότητας (ε=0.206 ενώ εκείνη της γης είναι ε=0.0167) με αποτέλεσμα η θέση του περιηλίου του να μπορεί να προσδιοριστεί με μεγάλη ακρίβεια. Ήδη από τα μέσα του 19ου αιώνα, ενώ είχε ήδη μετρηθεί με ακρίβεια η ταχύτητα μετάπτωσης του περιηλίου του Ερμή, δεν ήταν δυνατό να εξηγηθεί στο συνολό της από τη Νευτώνεια βαρύτητα: υπήρχαν 43 δευτερόλεπτα της μοίρας ανά γήινο αιώνα που ήταν αδύνατο να εξηγηθούν. Για την εξήγησή της απόκλισης αυτής είχε προταθεί η ύπαρξη ενός ακόμα πλανήτη πλησιέστερα στον Ήλιο από τον Ερμή, ο υποθετικός πλανήτης Vulcan (Ήφαιστος δηλαδή, απλή συνωνυμία με την ομώνυμο στο Star Trek), σε απόσταση 0.147ΑU από τον Ήλιο. Καθώς όμως ως το 1890 ο πλανήτης αυτός ήταν ακόμα άφαντος στα τηλεσκόπια των αστρονόμων που τον αναζητούσαν, άρχισε να γίνεται αντιληπτό ότι πρέπει να συμβαίνει κάτι με το νόμο που διέπει τη βαρύτητα. Έτσι, προτάθηκε ότι η βαρύτητα δεν ακολουθεί επακριβώς το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου και ότι εκθέτης του r στον παρονομαστή παρουσιάζει μια απόκλιση περίπου 0.00000016 από την τιμή 2. Στη συνέχεια προτάθηκε ότι ο νόμος της παγκόσμιας έλξης περιέχει και όρους ανώτερης τάξης που επηρεάζουν τη δύναμη σε κοντινές στον ήλιο αποστάσεις. Αυτές όμως οι υποθέσεις παρουσίαζαν προβλήματα καθώς οι συνέπειές τους στην κίνηση των υπολοίπων πλανητών ήταν μη αποδεκτές. Σύντομα όμως, το 1915, ο Einstein έλυσε το πρόβλημα με τη γενική θεωρία της Σχετικότητας δίνοντας έτσι την πρώτη ερμηνεία παρατηρησικών δεδομένων με τη βοήθεια της νέας θεωρίας.

Παρότι τα περισσότερα πειράματα που γίνονται αναζητούν πλέον αποκλίσεις από το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου εκεί όπου οι σύγχρονες θεωρίες ενοποίησης τις περιμένουν, δηλαδή σε αποστάσεις μικρότερες του μέτρου (βλ. πχ εδώ: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0307284v1 ή εδώ: http://www.npl.washington.edu/eotwash/sr), φαίνεται ότι το ζήτημα της μετατόπισης του περιηλίου των πλανητών δεν έχει κλείσει: υπάρχουν εργασίες που προσπαθούν να μελετήσουν τυχόν αποκλίσεις από το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου χρησιμοποιώντας νεότερα παρατηρησιακά δεδομένα τα οποία δίνουν επιπλέον μικρές αποκλίσεις στις μετατοπίσεις του περιηλίου κάποιων πλανητών: www.raa-journal.org/raa/index.php/raa/article/viewFile/1597/1347.

Το θεώρημα του κελύφους

Το θεώρημα του κελύφους αποδείχθηκε από το Νεύτωνα και από τα μαθητικά χρόνια μας το χρησιμοποιούμε έστω κι αν δεν έχουμε ακούσει ποτέ το ονομά του. Χάρη σε αυτό, εφαρμόζουμε το νόμο της παγκόσμιας έλξης για σφαιρικά αντικείμενα όπως τους πλανήτες αντιμετωπίζοντάς τους ως να ήταν σημειακές μάζες με όλη τη μάζα τους συγκεντρωμένη στο κέντρο της σφαίρας (ή του κελύφους). Το θεώρημα του κελύφους λέει πως ο νόμος της δύναμης από ένα σφαιρικό κέλυφος ακτίνας r είναι ίδιος με εκείνον αν όλη η μάζα του κελύφους ήταν συγκεντρωμένη στο κέντρο του κελύφους. Επιπλέον στο εσωτερικό του κελύφους η βαρυτική δύναμη μηδενίζεται.

Το θεώρημα του κελύφους ισχύει όταν ο ο εκθέτης του r είναι ακριβώς 2. Επιπλέον, το γεγονός ότι η δύναμη από ένα κέλυφος είναι ανεξάρτητη της ακτίνας του κελύφους, οδηγεί και σε μια άλλη συνέπεια: η δύναμη από μία ομογενή σφαίρα μάζας Μ και ακτίνας R είναι ίση με εκείνη από ένα κέλυφος ίσης μάζας και ακτίνας. Όταν λοιπόν η βαρύτητα ακολουθεί το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου έχουμε
όπου Μ η μάζα του σημείου/κελύφους/σφαίρας και r η απόσταση από το σημείο ή το κέντρο του κελύφους ή της σφαίρας.
Σε περίπτωση όπου ο εκθέτης είναι διαφορετικός του 2, το θεώρημα του κελύφους δεν ισχύει, και η δύναμη από ένα κέλυφος εξαρτάται όχι μόνο από την απόσταση από αυτό αλλά και από την ακτίνα του. Επιπλέον, για εκθέτη μεγαλύτερο του 2, η δύναμη στην επιφάνεια του κελύφους απειρίζεται! Γενικά δηλαδή
Για εκθέτη λοιπόν 2+ε έχουμε:
Οι εκφράσεις γίνονται ιδιαίτερα περίπλοκες και έχουμε και τον απειρισμό στην επιφάνεια του κελύφους και της σφαίρας. Αν επομένως ο εκθέτης ήταν διαφορετικός του 2, θα έπρεπε να χρησιμοποιήσουμε μια εξίσωση σαν την τελευταία για να περιγράψουμε την αλληλεπίδρασης μιας σημειακής (ή θεωρούμενης ως τέτοιας) μάζας με μια σφαιρική κατανομή μάζας, πχ αν θέλαμε να περιγράψουμε την κίνηση της γης γύρω από τον ήλιο. Επιπλέον, επειδή η βαρύτητα από μια σφαιρική κατανομή θα ήταν ισχυρότερη από ίση σημειακή μάζα, θα είχαμε μια επιπλέον μετάπτωση των περιηλίων. Τέλος, αν πάλι θέλαμε να περιγράψουμε την κίνηση δύο σφαιρικών κατανομών μάζας σε σχετικά κοντινή απόσταση μεταξύ τους (πχ ένα σύστημα διπλών αστέρων που βρίσκονται κοντά ο ένας στον άλλο) τότε ούτε η εξίσωση αυτή θα μας έκανε και τα πράγματα θα γίνονταν πολύ πολύ πιο περίπλοκα!

 Το πλήρες κείμενο ακολουθεί παρακάτω. Μπορείτε να το κατεβάσετε σε μορφή pdf από εδώ.