Δευτέρα, Δεκεμβρίου 22, 2014

Τι θα συνέβαινε αν η βαρύτητα δεν ακολουθούσε επακριβώς το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου;

Πως ξέρουμε ότι η δύναμη της βαρύτητας ακολουθεί ακριβώς το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου, δηλαδή πως ξέρουμε ότι ο εκθέτης του r στο νόμο της παγκόσμιας έλξης είναι 2 και όχι πχ 2.00001; Τι θα συνέβαινε τότε; Πως θα μοιάζαν οι τροχιές των πλανητών; 

Αυτή είναι μια ερώτηση που κάνουν συχνά οι υποψιασμένοι μαθητές. Η σύντομη απάντηση που θα μπορούσαμε να δώσουμε είναι πως στα πλαίσια των θεωριών που επιχειρούν να ενοποιήσουν όλες τις δυνάμεις, οι διαστάσεις του χώρου είναι περισσότερες από τρεις και ο νόμος της παγκόσμιας έλξης δε θα πρέπει να ισχύει στη μορφή αυτή σε πολύ μικρές αποστάσεις. Υπάρχουν μάλιστα σε εξέλιξη πειράματα που ερευνούν τις αποκλίσεις της βαρύτητας από το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου αλλά ως τώρα δεν έχει υπάρξει κάποιο αποτέλεσμα στα όρια της ακρίβειας των πειραμάτων.

Αυτό όμως δεν καλύπτει τους μαθητές καθώς αγνοούν τις θεωρίες αυτές και αυτό που πραγματικά θέλουν να μάθουν είναι πως θα επηρέαζε η απόκλιση του εκθέτη από το 2 τις τροχιές σωμάτων που γνωρίζουμε, όπως ο Ηλιος και η Γη. Για το λόγο αυτό, προσπάθησα να γράψω ένα κείμενο που να εξηγεί επακριβώς τις συνέπειες της απόκλισης του εκθέτη από το 2 σε επίπεδο τροχιών. Γράφοντας το κείμενο αυτό ξεκαθάρισα κι εγώ κάποια πράγματα στο μυαλό μου για το ζήτημα. Εδώ θα συνοψίσω απλώς κάποια συμπεράσματα, και για το πλήρες κείμενο παραπέμπω στο τέλος της ανάρτησης. Ας θεωρήσουμε λοιπόν ότι η δύναμη της βαρύτητας ακολουθεί το νόμο
όπου ε ένας μικρός αριθμός, και ας δούμε κάποιες από τις συνέπειες.

Η μορφή των τροχιών

Αν ο εκθέτης του r στο νόμο της παγκόσμιας έλξης ήταν λίγο διαφορετικός από το 2, οι τροχιές δε θα ήταν πλέον κλειστές αλλά τα περιήλια και τα αφήλιά τους θα παρουσίαζαν μετάπτωση. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόκλιση του εκθέτη από το 2 τόσο μεγαλύτερη και η γωνιακή τους μετατόπιση ανά περιστροφή. Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται μια τέτοια τροχιά (με πράσινο χρώμα) η οποία αντιστοιχεί σε ε=0.02. Με κόκκινο χρώμα φαίνεται η ελλειπτική τροχιά που αντιστοιχεί στο νόμο της βαρύτητας με ε=0.
Η κίνηση αυτή, που ονομάζεται μετάπτωση του περιηλίου (και του αφηλίου), είναι συνηθισμένη για τους πλανήτες: το περιήλιο της Γης μεταπίπτει κατά 11.45 δευτερόλεπτα της μοίρας ανά έτος ενώ η αντίστοιχη μετάπτωση για τον Ερμή είναι 5.74. Η μεταπτωτική αυτή κίνηση των πλανητών οφείλεται όχι στην απόκλιση από το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου αλλά στη μεταξύ τους βαρυτική αλληλεπίδραση. Αν η δύναμη δεν ακολουθούσε το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου, θα υπήρχε μια επιπλέον (πολύ μικρότερη συγκριτικά) μετάπτωση στα περιήλια των πλανητών.  Η γωνιακή μετατόπιση του περιηλίου ανά περιστροφή, για μικρές εκκεντρότητες (δηλαδή για τροχιές αρκετά κοντά στην κυκλική), μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι εξαρτάται από την απόκλιση ε με τη σχέση:

Το περιήλιο του Ερμή, η απόκλιση από το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου, ο πλανήτης Vulcan (Ήφαιστος) και η Γενική Σχετικότητα

Η ιστορία της μετάπτωσης του περιηλίου του Ερμή είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα ιστορία που καταδεικνύει με τον καλύτερο πιστεύω τρόπο (και τον προσιτότερο στους μαθητές που δε γνωρίζουν από κβαντομηχανική) την αλλαγή του "παραδείγματος" στα πλαίσια μιας "επιστημονικής επανάστασης" (κατά τον Kuhn). Αξίζει να τη δούμε λίγο σε αυτό το πλαίσιο. Μια πλήρη περιγραφή μπορούμε να βρούμε εδώ: http://www.math.toronto.edu/~colliand/426_03/Papers03/C_Pollock.pdf καθώς και στο βιβλίο In search of planet Vulcan.

Η μετατόπιση λοιπόν του περιηλίου του Ερμή έχει ιδιαίτερη ιστορική σημασία καθώς αποτέλεσε την πρώτη επιτυχή ερμηνεία παρατηρησιακών δεδομένων με τη γενική θεωρία της Σχετικότητας. Ο Ερμής, ο πλησιέστερος προς τον Ήλιο πλανήτης, κινείται σε τροχιά μεγάλης σχετικά εκκεντρότητας (ε=0.206 ενώ εκείνη της γης είναι ε=0.0167) με αποτέλεσμα η θέση του περιηλίου του να μπορεί να προσδιοριστεί με μεγάλη ακρίβεια. Ήδη από τα μέσα του 19ου αιώνα, ενώ είχε ήδη μετρηθεί με ακρίβεια η ταχύτητα μετάπτωσης του περιηλίου του Ερμή, δεν ήταν δυνατό να εξηγηθεί στο συνολό της από τη Νευτώνεια βαρύτητα: υπήρχαν 43 δευτερόλεπτα της μοίρας ανά γήινο αιώνα που ήταν αδύνατο να εξηγηθούν. Για την εξήγησή της απόκλισης αυτής είχε προταθεί η ύπαρξη ενός ακόμα πλανήτη πλησιέστερα στον Ήλιο από τον Ερμή, ο υποθετικός πλανήτης Vulcan (Ήφαιστος δηλαδή, απλή συνωνυμία με την ομώνυμο στο Star Trek), σε απόσταση 0.147ΑU από τον Ήλιο. Καθώς όμως ως το 1890 ο πλανήτης αυτός ήταν ακόμα άφαντος στα τηλεσκόπια των αστρονόμων που τον αναζητούσαν, άρχισε να γίνεται αντιληπτό ότι πρέπει να συμβαίνει κάτι με το νόμο που διέπει τη βαρύτητα. Έτσι, προτάθηκε ότι η βαρύτητα δεν ακολουθεί επακριβώς το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου και ότι εκθέτης του r στον παρονομαστή παρουσιάζει μια απόκλιση περίπου 0.00000016 από την τιμή 2. Στη συνέχεια προτάθηκε ότι ο νόμος της παγκόσμιας έλξης περιέχει και όρους ανώτερης τάξης που επηρεάζουν τη δύναμη σε κοντινές στον ήλιο αποστάσεις. Αυτές όμως οι υποθέσεις παρουσίαζαν προβλήματα καθώς οι συνέπειές τους στην κίνηση των υπολοίπων πλανητών ήταν μη αποδεκτές. Σύντομα όμως, το 1915, ο Einstein έλυσε το πρόβλημα με τη γενική θεωρία της Σχετικότητας δίνοντας έτσι την πρώτη ερμηνεία παρατηρησικών δεδομένων με τη βοήθεια της νέας θεωρίας.

Παρότι τα περισσότερα πειράματα που γίνονται αναζητούν πλέον αποκλίσεις από το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου εκεί όπου οι σύγχρονες θεωρίες ενοποίησης τις περιμένουν, δηλαδή σε αποστάσεις μικρότερες του μέτρου (βλ. πχ εδώ: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0307284v1 ή εδώ: http://www.npl.washington.edu/eotwash/sr), φαίνεται ότι το ζήτημα της μετατόπισης του περιηλίου των πλανητών δεν έχει κλείσει: υπάρχουν εργασίες που προσπαθούν να μελετήσουν τυχόν αποκλίσεις από το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου χρησιμοποιώντας νεότερα παρατηρησιακά δεδομένα τα οποία δίνουν επιπλέον μικρές αποκλίσεις στις μετατοπίσεις του περιηλίου κάποιων πλανητών: www.raa-journal.org/raa/index.php/raa/article/viewFile/1597/1347.

Το θεώρημα του κελύφους

Το θεώρημα του κελύφους αποδείχθηκε από το Νεύτωνα και από τα μαθητικά χρόνια μας το χρησιμοποιούμε έστω κι αν δεν έχουμε ακούσει ποτέ το ονομά του. Χάρη σε αυτό, εφαρμόζουμε το νόμο της παγκόσμιας έλξης για σφαιρικά αντικείμενα όπως τους πλανήτες αντιμετωπίζοντάς τους ως να ήταν σημειακές μάζες με όλη τη μάζα τους συγκεντρωμένη στο κέντρο της σφαίρας (ή του κελύφους). Το θεώρημα του κελύφους λέει πως ο νόμος της δύναμης από ένα σφαιρικό κέλυφος ακτίνας r είναι ίδιος με εκείνον αν όλη η μάζα του κελύφους ήταν συγκεντρωμένη στο κέντρο του κελύφους. Επιπλέον στο εσωτερικό του κελύφους η βαρυτική δύναμη μηδενίζεται.

Το θεώρημα του κελύφους ισχύει όταν ο ο εκθέτης του r είναι ακριβώς 2. Επιπλέον, το γεγονός ότι η δύναμη από ένα κέλυφος είναι ανεξάρτητη της ακτίνας του κελύφους, οδηγεί και σε μια άλλη συνέπεια: η δύναμη από μία ομογενή σφαίρα μάζας Μ και ακτίνας R είναι ίση με εκείνη από ένα κέλυφος ίσης μάζας και ακτίνας. Όταν λοιπόν η βαρύτητα ακολουθεί το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου έχουμε
όπου Μ η μάζα του σημείου/κελύφους/σφαίρας και r η απόσταση από το σημείο ή το κέντρο του κελύφους ή της σφαίρας.
Σε περίπτωση όπου ο εκθέτης είναι διαφορετικός του 2, το θεώρημα του κελύφους δεν ισχύει, και η δύναμη από ένα κέλυφος εξαρτάται όχι μόνο από την απόσταση από αυτό αλλά και από την ακτίνα του. Επιπλέον, για εκθέτη μεγαλύτερο του 2, η δύναμη στην επιφάνεια του κελύφους απειρίζεται! Γενικά δηλαδή
Για εκθέτη λοιπόν 2+ε έχουμε:
Οι εκφράσεις γίνονται ιδιαίτερα περίπλοκες και έχουμε και τον απειρισμό στην επιφάνεια του κελύφους και της σφαίρας. Αν επομένως ο εκθέτης ήταν διαφορετικός του 2, θα έπρεπε να χρησιμοποιήσουμε μια εξίσωση σαν την τελευταία για να περιγράψουμε την αλληλεπίδρασης μιας σημειακής (ή θεωρούμενης ως τέτοιας) μάζας με μια σφαιρική κατανομή μάζας, πχ αν θέλαμε να περιγράψουμε την κίνηση της γης γύρω από τον ήλιο. Επιπλέον, επειδή η βαρύτητα από μια σφαιρική κατανομή θα ήταν ισχυρότερη από ίση σημειακή μάζα, θα είχαμε μια επιπλέον μετάπτωση των περιηλίων. Τέλος, αν πάλι θέλαμε να περιγράψουμε την κίνηση δύο σφαιρικών κατανομών μάζας σε σχετικά κοντινή απόσταση μεταξύ τους (πχ ένα σύστημα διπλών αστέρων που βρίσκονται κοντά ο ένας στον άλλο) τότε ούτε η εξίσωση αυτή θα μας έκανε και τα πράγματα θα γίνονταν πολύ πολύ πιο περίπλοκα!

 Το πλήρες κείμενο ακολουθεί παρακάτω. Μπορείτε να το κατεβάσετε σε μορφή pdf από εδώ.

Κυριακή, Νοεμβρίου 30, 2014

Η κάρτα ήχου ως χρονόμετρο (και όχι μόνο)

1. Εισαγωγή

Αυτό που πάντα προσπαθώ να μεταδόσω στους μαθητές μου είναι ότι ο πειραματισμός δεν είναι κάτι που αρχίζει και τελειώνει στους τέσσερεις τοίχους του σχολικού μας εργαστηρίου. Σε αρκετές μάλιστα περιπτώσεις ούτε καν αρχίζει εκεί λόγω της τραγικής έλλειψης των περισσότερων γυμνασίων σε υλικοτεχνικό εξοπλισμό. Στα λύκεια τα πράγματα είναι πολύ καλύτερα απο πλευράς εξοπλισμού, αλλά ο χρόνος για πειραματισμό στο σχολείο είναι πραγματικά λιγοστός. Συχνά λοιπόν δίνω στους μαθητές που ενδιαφέρονται περισσότερο (σε προαιρετική πάντα βάση) και κάποια πειραματική δουλειά που μπορεί να πραγματοποιηθεί και στο σπίτι με πολύ απλά υλικά ή με κάποιο απλό και δωρεάν λογισμικό. Απλά πειράματα όπως πχ το να μετρηθεί ο συντελεστής τριβής χρησιμοποιώντας ένα χάρακα και ένα κέρμα, να παρασκευαστεί ένα διάλυμα δείκτη (βλ. πχ εδώ) και χαρτάκια εκτίμησης του pH (βλ. πχ. εδώ), να μετρηθεί το ύψος ενός κτιρίου ή το βάθος ενός πηγαδιού με το πέταγμα μιας πέτρας, να μετρηθεί η περίοδος ενός εκκρεμούς και να μελετηθεί πως την επηρεάζει πχ η αλλαγή μιας παραμέτου όπως το μήκος του νήματος κλπ.

Όλοι σχεδόν οι μαθητές έχουν στο σπίτι τους έναν υπολογιστή εφοδιασμένο με ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο συλλογής δεδομένων. Αυτό δεν είναι άλλο από την κάρτα ήχου. Η πρώτη φορά που χρησιμοποίησα την κάρτα ήχου στο σχολικό εργαστήριο ήταν το σχολικό έτος 2007-2008 στη Γ΄Λυκείου (βλ. εδώ και εδώ), όπου αντικατέστησε τη γεννήτρια συχνοτήτων και τον παλομογράφο. Το κερδος σε χρόνο ήταν τεράστιο αλλά και αποφύγαμε τις περιττές για την ουσία του πράγματος λεπτομέρειες που αφορούν τη σύνδεση και τη χρήση των γεννητριών και των παλμογράφων, χώρια που γλιτώσαμε το δέος που προκαλούν στους μαθητές τα δεκάδες κουμπιά ενός παλμογράφου.

2. Το πρόβλημα

Εδώ θα περιγράψω μια άλλη εφαρμογή της κάρτας ήχου, κατάλληλη τόσο για το εργαστήριο όσο και για το σπίτι: εκείνη της χρονομέτρησης γεγονότων που συνδέονται με κάποιον ήχο, όπως η αναπήδηση μας μπάλας στο έδαφος, η ελεύθερη περιστροφή του πίσω τροχού ποδηλάτου που κάνει το χαρακτηριστικό τσικ-τσικ κλπ. Ας χρησιμοποιήσουμε τη μπάλα που αναπηδά ως παράδειγμα. Όλοι ξέρουμε ότι μια μπάλα που αναπηδά στο έδαφος χάνει σε κάθε κρούση της ένα ποσοστό της ενέργειάς της. Έτσι, μετά από κάθε αναπήδηση ανέρχεται σε μικρότερο ύψος από την προηγούμενη ενώ οι χρόνοι μεταξύ δύο κρούσεων στο έδαφος γίνονται όλο και μικρότεροι. Το ερώτημα λοιπόν είναι: μπορούμε με κάποιο τρόπο να εκτιμήσουμε το ποσοστό της ενέργειας που χάνει σε μια κρούση; Είναι το ποσοστό αυτό σταθερό ή έστω σχεδόν σταθερό καθώς η μπάλα πραγματοποιεί διαδοχικές κρούσεις με το έδαφος;

Αν πριν κάποια κρούση (ας την πούμε n), η ενέργεια της μπάλας είναι En, μετά την κρούση είναι En+1, και με α συμβολίσουμε το λόγο En+1/En, τότε τα αντίστοιχα ύψη αναπήδησης πριν και μετά την κρούση σχετίζονται ως εξής:

ενώ για τα αντίστοιχα χρονικά διαστήματα ισχύει:
Το ποσοστό επομένως της ενέργειας που χάνεται στην κρούση είναι:
Οι συμβολισμοί εξηγούνται στο σχήμα που ακολουθεί. Τις παραπάνω σχέσεις είναι πολύ εύκολο να της αποδείξει ένας μαθητής που έχει διδαχθεί ποσοτικά την έννοια της ενέργειας (διδάσκεται στο δεύτερο τετράμηνο της Α' τάξης του Λυκείου). Εννοείται ότι έχουμε αγνοήσει τη συνεισφορά του αέρα και της στροφορμής που αποκτά η μπάλα στην απώλεια ενέργειας.
Επομένως αν μετρήσουμε δύο διαδοχικά χρονικά διαστήματα Δt μεταξύ κρούσεων μπορούμε να υπολογίσουμε το συντελεστή α και κατ' επέκταση το ποσοστό απώλειας ενέργειας  λ σε κάθε κρούση.

3. Η λήψη των μετρήσεων

Πως θα μετρήσουμε λοιπόν αυτά τα χρονικά διαστήματα που καθώς περνά ο χρόνος γίνονται όλο και μικρότερα; Εδώ λοιπόν θα χρησιμοποιήσουμε την κάρτα ήχου η οποία είναι και σε αυτή την περίπτωση ένα πολύτιμο βοήθημα. Αφήνουμε τη μπάλα να πέσει από κάποιο ύψος και καταγράφουμε τον ήχο που κάνει η μπάλα με ένα μικρόφωνο συνδεδεμένο στον υπολογιστή ή ακόμα και με ένα smartphone. Το τελευταίο μάλιστα έχει το πλεονέκτημα ότι μπορούμε να το πλησιάσουμε πολύ στην πηγή του ήχου και να τον καταγράψουμε καλύτερα, με κόστος λίγη επιπλέον προσπάθεια για τη μεταφορά και την εισαγωγή των δεδομένων στον υπολογιστή. Το λογισμικό που συστήνουμε να χρησιμοποιηθεί για την ηχογράφηση είναι το Wavosaur. Πρόκειται για ένα λογισμικό που παρέχεται δωρεάν (βλ. www.wavosaur.com για κατέβασμα), έχει τη δυνατότητα να ηχογραφεί από το μικρόφωνο και μετά τη λήξη της εγγραφής μας εμφανίζει στην οθόνη την κυματομορφή του ηχητικού αποσπάσματος που ηχογραφήσαμε. Ας δούμε λοιπόν στο Wavosaur την κυματομορφή που καταγράφεται κατά την αναπήδηση μιας μπάλας.


Κάθε κρούση της μπάλας με το έδαφος αντιστοιχεί με μια ταλάντωση που φθίνει γρήγορα. Το σημείο έναρξης αυτής της ταλάντωσης (που σχεδόν συμπίπτει και με την κορυφή) αντιστοιχει στην κρούση της μπάλας με το έδαφος. Τις χρονικές στιγμές που έχουμε κρούση μπορούμε να τις προσδιορίσουμε μετακινώντας τον κέρσορα (στην εικόνα παραπάνω αντιστοιχεί στην κατακόρυφη γραμμή αριστερά) πάνω στις κορυφές. Ο αντίστοιχος χρόνος φαίνεται στο πεδίο κάτω δεξιά. Έτσι, μπορούμε να καταγράψουμε τις χρονικές στιγμές που γίνονται τουλάχιστο οι πρώτες οι κρούσεις 17 κρούσεις. Από την 17η και άνω, η ένταση του σήματος είναι μικρή και χάνεται μέσα στο θόρυβο του περιβάλλοντος. Έτσι λοιπόν παίρνουμε 17 τιμές του χρόνου για τις κρούσεις. Με μια καλύτερη και πιο καλά φουσκωμένη μπάλα μπορούμε να πάρουμε περισσότερες.

Εναλλακτικές για τη συλλογή των δεδομένων:
  • Σε περίπτωση χρήσης smartphone, το αρχείο m4a που θα προκύψει μπορούμε να το μετατρέψουμε σε wav (ώστε να ανοίγει από το Wavosaur) με το πρόγραμμα Freemore WMA to MP3 converter.
  • Για τη μελέτη της κυματομορφής υπάρχουν και τα προγράμματα WASP και BROWSE, και τα δύο από το τμήμα Speech, Hearing and Phonetic Sciences του UCL. Το πρώτο από τα προγράμματα αυτά έχει τη δυνατότητα εγγραφής ενώ το δεύτερο όχι. Αξίζει μια επίσκεψη στη σελίδα του τμήματος (http://www.phon.ucl.ac.uk/resource/software.php) όπου μπορούμε να βρούμε πολύ χρήσιμα δωρεάν προγράμματα για τη μελέτη του λόγου αλλά και του ήχου γενικότερα. Από αυτά ξεχώρισα το RTSPEC το οποίο κάνει ανάλυση φάσματος σε πραγματικό χρόνο και την εμφανίζει στην οθόνη ταυτόχρονα με την κυματομορφή, σε αντίθεση με το Scope  που χρησιμοποιούσα ως τώρα όπου φάσμα και κυματομορφή εμφανίζονται σε ξεχωριστά παράθρα.

4. Επεξεργασία των δεδομένων

 Από τις τιμές του χρόνου που έχουμε, βρίσκουμε τα χρονικά διαστήματα αφαιρώντας από κάθε τιμή χρόνου την προηγούμενή της. Από τα χρονικά διαστήματα, διαιρώντας καθένα με το προηγούμενό του και υψώνοντας το αποτέλεσμα στο τετράγωνο βρίσκουμε το συντελεστή α, από όπου προκύπτει και ποσοστό απώλειας ενέργειας κατά την κρούση λ = 1 - α. Τα παραπάνω τα δείχνουμε σχηματικά πάνω στην κυματομορφή (ζουμαρισμένη στο Wavosaur) για τις λίγες πρώτες κρούσεις.
Βλέπουμε ότι το ποσοστό απώλειας διακυμαίνεται μεταξύ ~21 και ~28% σε αυτές τις πρώτες κρούσεις. Μπορούμε να γίνουμε και πιο αναλυτικοί (αναλόγως του επιπέδου και της διάθεσης των μαθητών να ασχοληθούν) και να καταχωρήσουμε τα αποτελέσματά μας σε έναν πίνακα σαν τον παρακάτω, με πλήθος γραμμών όσες και οι κρούσεις που καταφέραμε να ηχογραφήσουμε. Παραλείποντας λεπτομέρειες και αριθμούς, εμείς υπολογίσαμε μια μέση τιμή ~0.18 για το λ, με σαφή τάση μείωσης καθώς αυξάνεται ο αριθμός των κρούσεων. Πιθανώς η μείωση αυτή να οφείλεται στο ότι η μπάλα επιβραδύνεται και η αντίσταση του αέρα μειώνεται. Η μπάλα μας ήταν αρκετά ελαφριά για τον όγκο της και πιθανόν η αντίσταση του αέρα να μην ήταν αμελητέα. Αν κάποιος επαναλάβει το πείραμα ας με ενημερώσει αν παρατήρησε αυτή τη μείωση του λ.

Για προχωρημένους: Αν συμβολίσουμε με to το πρώτο χρονικό διάστημα, τότε το n-στο δίνεται από τη σχέση:
Επομένως αν παραστήσουμε γραφικά το λογάριθμό του tn σα συνάρτηση του n, θα λάβουμε σημεία τα οποία θα προσεγγίζουν μια ευθεία με κλίση (loga)/2 αν ο συντελεστής α είναι σταθερός. Αν όχι, η κλίση της καμπύλης που ορίζουν τα σημεία θα γίνεται λιγότερο απότομη καθώς ο α αυξάνεται. Στη δική μας περίπτωση η γραφική παράσταση δείχνει όπως στο παρακάτω σχήμα.

 
Με προσαρμογή ελαχίστων τετραγώνων βρίσκουμε μια ευθεία με κλίση -0.0432 που αντιστοιχεί σε α=0.819 ή λ=0.181. Όπως όμως φαίνεται από τα σημεία στο παραπάνω σχήμα η τιμή αυτή για το λ είναι απλώς μια μέση τιμή. Η καμπύλη γίνεται λιγότερο απότομη καθώς το n αυξάνεται, που σημαίνει -όπως είδαμε και προηγουμένως- ότι η απώλεια ενέργειας γίνεται μικρότερη.

5. Τι ακόμα μπορούμε να κάνουμε με την κάρτα ήχου

Μπορούμε να κάνουμε πραγματικά πολλά πράγματα, αν έχουμε κάποιες γνώσεις προγραμματισμού και ηλεκτρονικών. Για οτιδήποτε άλλο εκτός από τη σύνδεση μικροφώνου χρειάζεται να ληφθεί ειδική μέριμνα με την κατασκευή κάποιου είδους interface για να μην ξεπεραστεί η μέγιστη τάση εισόδου, η οποία μάλιστα διαφέρει σημαντικά από κάρτα σε κάρτα. Ίσως για το λόγο αυτό δεν υπάρχουν τυποποιημένοι αισθητήρες για χρήση στην υποδοχή του μικροφώνου (με εξαίρεση δύο αισθητήρες θερμοκρασίας για το iPhone: iCelsius και Thermodo με κόστος $47 και $30 αντίστοιχα, ο πρώτος έχει και εξάρτημα για barbeque...). Ψάχνοντας στο διαδίκτυο βρήκα ένα μεγάλο πλήθος εφαρομογών της κάρτας ήχου, με πιο ενδιαφέρουσες κατά τη γνώμη μου τις παρακάτω:
Η κατασκευή των παραπάνω μπορεί να γίνει φθηνά και γρήγορα από κάποιον που γνωρίζει βασικά ηλεκτρονικά. Ακόμα μπορεί κάποια από αυτές τις κατασκευές να αποτελέσει μέρος ενός μικρού project για μαθητές της τεχνικής εκπαίδευσης της αντίστοιχης κατεύθυνσης.

Ιδέα για πείραμα: Από τον ήχο που κάνει ο πίσω τροχός ενός ποδηλάτου μπορούμε να προσδιορίσουμε τη γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση, αναλύοντας τον ήχο (το χαρακτηριστικό τσίκι-τσίκι) στο Wavosaur. Μπορούμε επομένως να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειάς του αν τον μετατρέψουμε σε τροχαλία τυλίγοντας στην περιφέρειά του ένα σκοινί με αναρτημένο ένα γνωστό βάρος και αφήνοντάς τον να επιταχυνθεί από το βάρος του σώματος. Μπορούμε επιπλέον να υπολογίσουμε εύκολα το πως η τριβή των ρουλεμάν επηρεάζει το παραπάνω αποτέλεσμα μετρώντας τη γωνιακή του επιτάχυνση ενώ αυτός περιστρέφεται χωρίς το βάρος. Περισσότερα σε επόμενη ανάρτηση.

Τετάρτη, Απριλίου 30, 2014

Το λιοντάρι της Κάντζας

Ο ναός του Αγίου Νικολάου στην Κάντζα με το αρχαίο λιοντάρι στον περίβολό του, ήταν πάντα ένα σημείο στάσης, ανεφοδιασμού (υπήρχε βρύση με καθαρό νερό) και περισυλλογής στις πρώτες βόλτες μου με το ποδήλατο στην ανατολική Αττική. Την περασμένη εβδομάδα βρέθηκα μετά από αρκετά χρόνια ξανά στο σημείο αυτό. Ευτυχώς δεν έχουν αλλάξει και πολλά, σε αντίθεση με την περιοχή γύρω από το κτήμα Καμπά που έγινε αγνώριστη προς το χειρότερο.
Το Λιοντάρι κάτω από το "σπιτάκι" του. Στα δεξιά του πλάνου φαίνεται το ηρωϊκό μου ποδήλατο.
Ο Ναός του Αγίου Νικολάου δίπλα από το λιοντάρι.
Ένας θρύλος της περιοχής λέει ότι κατά τον δέκατο περίπου αιώνα στις πλαγιές του Υμηττού κατοικούσε ένα λιοντάρι, στη λεγόμενη σπηλιά του Λιονταριού (έχω γράψει γι΄αυτή παλιότερα, βλ. εδώ). Το λιοντάρι αυτό, έρχονταν στον περίβολο του ναού του Αγίου Νικολάου, κατά τη διάρκεια των πανηγυριών, και έτρωγε τρεις νεαρές παρθένες. Οι κάτοικοι φοβήθηκαν και σταμάτησαν να διοργανώνουν πανηγύρια μέχρι που ένας κάτοικος της περιοχής είδε στον ύπνο του τον Άγιο Νικόλαο. Ο Άγιος, αφού ρώτησε και έμαθε για ποιο λόγο δεν γίνονται πια πανηγύρια στη χάρη του, είπε στον άνθρωπο αυτό: «Εσείς θα κάνετε το πανηγύρι και όταν έρθει το λιοντάρι, θα είμαι εγώ εκεί». Έτσι άρχισαν ξανά τα πανηγύρια και όταν την ώρα του χορού εμφανίστηκε το λιοντάρι και άνοιξε το στόμα του να αρπάξει την πρώτη κοπέλα, ο Άγιος το μαρμάρωσε. Αυτός είναι και ο λόγος που το άγαλμα του λιονταριού είναι με το στόμα ανοιχτό. Λέγεται, ακόμα, πως την ώρα που το μαρμάρωσε ο Άγιος, το λιοντάρι κοίταζε τα παιδιά του, που επίσης μαρμαρώθηκαν και βρίσκονται στον Υμηττό.
Στην πραγματικότητα όμως, το μαρμάρινο λιοντάρι είναι πολύ παλιότερο, περίπου 2500 ετών! Το 541 π.Χ. (ή το 539 σύμφωνα με άλλες πηγές) στην περιοχή διεξήχθη η "επί Παλληνίδι μάχη" (σύμφωνα με τον ιστορικό Ηρόδοτο). Ο τύραννος Πεισίστρατος νίκησε τους Αθηναίους αντιπάλους του και εγκατέστησε την τυραννία στην Αθήνα. Το μαρμάρινο λιοντάρι είχε τοποθετηθεί σαν επιτάφιος λέων πάνω στον τάφο των νεκρών Αθηναίων της μάχης αυτής. Παλαιότερα πιστεύονταν ότι στο χώρο αυτό βρίσκονταν και ο ναός της Παλλήνιδος Αθηνάς, αλλά το 1994 βρέθηκαν τα ερείπειά του κατά την εκσκαφή ενός οικοπέδου στο Γέρακα, κοντά στην οδό Κλεισθένους (βλ. εδώ).
Παρακάτω φαίνεται η θέση του λιονταριού στο χάρτη. Είναι στα αριστερά της οδού Λεονταρίου καθώς πηγαίνουμε προς Κάντζα. Για να φτάσουμε σε αυτό ακολουθούμε την ταμπέλα "προς κέντρο δοκιμών και προτύπων ΔΕΗ".


Παρακάτω μερικές ακόμα φωτογραφίες από το μέρος.










Δευτέρα, Απριλίου 28, 2014

Η εμπειρία μου με το Kindle: μέρος ΙΙ

Πριν από αρκετό καιρό, τον Οκτώβριο του 2011, απέκτησα το Kindle. Έγραψα σχετικά με την εμπειρία μου με αυτό λίγο καιρό αφού το απέκτησα (βλ. σχετική δημοσίευση εδώ). Σήμερα, μετά από σχεδόν δυόμισι χρόνια, εξακολουθώ να το χρησιμοποιώ σχεδόν καθημερινά. Μέσα σε αυτά τα δυόμιση χρόνια μεσολάβησε μια βλάβη του Kindle που οδήγησε σε αντικατάσταση (βλ. παρακάτω) αλλά και άλλαξε κάπως ο τρόπος που το χρησιμοποιώ.

1. Η βλάβη και η αντικατάσταση
 Το Μάρτιο του 2013, δηλαδή 17 μήνες μετά την αγορά του, το Kindle παρουσίασε βλάβη: η οθόνη του ήταν άσπρη και δεν ανταποκρίνονταν. Μετά από κάθε επανεκκίνηση, λειτουργούσε για λίγα λεπτά και μετά πάλι τα ίδια. Αν και ήξερα ότι η συσκευή ήταν πλέον εκτός εγγύησης, επικοινώνησα με την υποστήριξη της Amazon. Η επικοινωνία έγινε με chat. Μετά από αρκετές προσπάθειες επανεκκίνησης αλλά και παρέμβασης στο Kindle από τον υπάλληλο μέσω internet, καταλήξαμε ότι η βλάβη είναι μη επισκευάσιμη. Ο υπάλληλος μου είπε ότι παρότι το Kindle ήταν εκτός εγγύησης, η συγκεκριμένη βλάβη καλύπτεται ως εξαίρεση από την εγγύηση. Έτσι, σε λίγες μέρες, ένα ολοκαίνουργιο ίδιο Kindle έφτασε ταχυδρομικώς στο σπίτι μου από την Αμερική, χωρίς να χρειαστεί να πληρώσω ούτε μεταφορικά ούτε δασμούς.

2. Η μεταφορά των δεδομένων στο νέο Kinde
Όταν χρειάστηκε να μεταφέρω δεδομένα στο νέο Kindle, κατάλαβα πόσο λάθος ήταν να μεταφέρω δεδομένα μέσω της θύρας USB: όσα είχα μεταφέρει μέσω του καλωδίου, έπρεπε να τα ξανααναζητήσω στον υπολογιστή μου και να τα ξαναμεταφέρω, κάτι εξαιρετικά δύσκολο λόγω της ακαταστασίας μου. Αντίθετα, όσα είχα στείλει στο Kindle μου με e-mail, βρίσκονταν αποθηκευμένα στους εξυπηρετητές της Amazon και μπόρεσα να τα κατεβάσω στο νέο μου Kindle με λίγα πατήματα των πλήκτρων του. Επιπλέον, στα αρχεία αυτά έχω πρόσβαση μέσω διαδικτύου από οποιονδήποτε υπολογιστή και μπορώ να έχω πρόσβαση σε αυτά από οπουδήποτε.

3. Δεξί κλικ και "send to Kindle"
Αντί να στέλνεις τα αρχεία στο Kindle με email (και να περιορίζεσαι σε μέγεθος αρχείου από την υπηρεσία που χρησιμοποιείς) υπάρχει πλέον μια shell extension που κάνει αυτή τη δουλειά: επιλέγεις το αρχείο που θέλεις, κάνεις δεξί κλικ και επιλέγεις "send to Kindle", όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Το όριο για το μέγεθος του αρχείου που μπορείς να στείλεις είναι 50 ΜΒ. Για μεγαλύτερα αρχεία η μόνη λύση είναι το καλώδιο USB.
H shell extension για αποστολή αρχείων στο Kindle μέσω διαδικτύου
Στη συνέχεια ανοίγει ένα παράθυρο όπου επιλέγεις σε ποιό από τα Kindle σου θέλεις να το στείλεις καθώς και τον τρόπο που θα το στείλεις (Wi-Fi ή 3G). Αν τικάρεις του κουτάκι "Archive document in your Kindle library", το αρχείο που στέλνεις αποθηκεύεται στους εξυπηρετητές της Amazon και είναι διαθέσιμο για ξανακατέβασμα στο Kindle σε περίπτωση που σου χαλάσει (όπως εμένα) ή αν αγοράσεις άλλη συσκευή (βλ. παρακάτω εικόνα).
Αποστέλλοντας ένα αρχείο σε πολλαπλές συσκευές Kindle
Επιπλέον από την Kindle library, ότι αρχεία στέλνεις στο Kindle αποθηκεύονται αυτόματα και στο Amazon Cloud Drive, όπου κάθε χρήστης έχει 5 GB δωρεάν αποθηκευτικό χώρο, ενώ υπάρχουν εφαρμογές ώστε να έχεις πρόσβαση στο Cloud Drive από το PC ή κάποια κινητή συσκευή ως να ήταν ένας τοπικός δίσκος στη συσκευή σου.

4. Η εφαρμογή για iphone (και Android)
Τελευταία έπεσε στα χέρια μου ένα iphone 4, το οποίο χρησιμοποιώ για πολλά πράγματα μεταξύ των οποίων και η ανάγνωση ηλεκτρονικών βιβλίων. Η μικρή του οθόνη αντισταθμίζεται σε μεγάλο βαθμό από την ευκολία zoom in/out οπότε προς το παρόν βολεύομαι (μέχρι τουλάχιστο να με χτυπήσει η πρεσβυωπία). Κατέβασα λοιπόν από το app store την αντίστοιχη εφαρμογή, και σε λίγα λεπτά είχα πρόσβαση στα ηλεκτρονικά βιβλία που είχα στείλει στο kindle μου, καθώς η εφαρμογή ανέκτησε όλους τους τίτλους των βιβλίων μου. Δεν τα κατέβασε όλα αλλά κάθε φορά που ανοίγω κάποιο, το κατεβάζει αυτόματα εκείνη τη στιγμή. Οι παρακάτω εικόνες δείχνουν τη λειτουργικότητα της εφαρμογής.
Η αρχική οθόνη του iphone με την εφαρμογή του Kindle
Ανοίγοντας ένα βιβλίο έχουμε μια προεπισκόπηση των σελίδων του σε μορφή thumbnails
Η οθόνη του Kindle με ανοιγμένο ένα βιβλίο (το Conceptual Physics του P. Hewitt)
Κατάλογος των βιβλίων που υπάρχουν στο cloud, δηλαδή όσα είχα κατά καιρούς στείλει στα Kindle μου. Κάνοντας κλικ επάνω τους κατεβαίνουν στη συσκευή.
Ο συγχρονισμός με τα αρχεία του cloud γίνεται αυτόματα αλλά μπορούμε να τον κάνουμε και χειροκίνητα όποτε θέλουμε.
Προβολή των αρχείων που υπάρχουν στο cloud υπό μορφή thumbnails.
Ένα σημαντικό θέμα όταν διαβάζεις ένα βιβλίο σε δύο συσκευές (πχ διαβάζω κάτι στο iphone στον προαστιακό πηγαίνοντας στο σχολείο και συνεχίζω στο Kindle την ανάγνωση όταν φτάσω στο σπίτι) είναι να ξέρεις που είσαι. Το να βρεις που έχεις φτάσει μπορεί να γίνει χρονοβόρο, ειδικά στο Kindle καθώς το δικό μου (ως παλιότερο μοντέλο) δεν έχει οθόνη αφής και όλες οι λειτουργίες γίνονται με πάτημα πλήκτρων. Για το ζήτημα αυτό υπάρχει (μερικώς) λύση: όταν διαβάζεις ένα βιβλίο σε μορφή mobi (native format του Kindle) και έχεις πρόσβαση στο διαδίκτυο, κλείνοντας την εφαρμογή αποθηκεύεται η τρέχουσα σελίδα. Έτσι, ανοίγοντας το ίδιο βιβλίο από άλλη συσκευή, ένα παράθυρο μας ενημερώνει ποιά είναι η τρέχουσα θέση ανάγνωσης. Το ίδιο γίνεται και αντίστροφα: μπορώ το πρωϊ στον προαστιακό να συνεχίσω από εκεί που ήμουν ένα βιβλίο το οποίο διάβασα στο Kindle το βράδυ πριν κοιμηθώ.
Το παράθυρο στο Kindle που μας ενημερώνει για την τελευταία σελίδα που διαβάσαμε.
Το πρόβλημα είναι ότι από τα βιβλία που έχω ελάχιστα είναι σε μορφή mobi. Στη μορφή αυτή είναι μόνο τα ελάχιστα που έχω αγορασμένα. Τα περισσότερα είναι σε μορφή pdf (από μετατροπή με το πρόγραμμα k2pdfopt) οπότε πρέπει να σημειώνω κάπου που βρίσκομαι αν δε θέλω να ψάχνω μέσα στο βιβλίο κάμποση ώρα για να το βρω.

Ένα άλλο μειονέκτημα είναι η αδυναμία δημιουργίας δομής φακέλων μέσα στο Kindle (και κατ' επέκταση και στην αντίστοιχη εφαρμοφή για iphone). Μπορείς μόνο να δημιουργήσεις "συλλογές" στο Kindle (η εφαρμογή για iphone δεν έχει καν αυτή τη δυνατότητα) και εκεί να ταξινομήσεις αρχεία. Θα ήταν καλό να μπορείς να δημιουργήσεις μια δομή φακέλων ή αλλιώς μια συλλογή μέσα στη συλλογή γιατί με τα αρχεία χύμα χάνεσαι ειδικά όταν είναι πολλά όπως τα δικά μου. Πχ έχω στο Kindle περασμένα όλα τα σχολικά βιβλία για τα μαθήματα που κάνω στο γυμνάσιο και το λύκειο (Φυσική, Βιολογία κλπ) και θέλω να έχω ένα φάκελο που να λέγεται "Σχολικά βιβλία", μέσα του να είναι φάκελοι για γυμνάσιο και λύκειο και σε καθέναν από αυτούς να υπάρχουν υποφάκελοι για κάθε μάθημα και κάθε τάξη. Αντί γι΄αυτό έχω μόνο συλλογές που λέγονται Gymnasio_A_Biologia, Lykeio_B_Xhmeia κλπ και μέτα σε καθέναν έχω το βιβλίο μαθητή, βιβλίο καθηγητή και εργαστηριακό οδηγό, κάτι όχι και τόσο πρακτικό.

Συμπερασματικά, με τη shell extension, την ενσωμάτωση στο Amazon Cloud Drive και την εφαρμογή για iphone, η εμπειρία μου με το Kindle έχει βελτιωθεί σημαντικά. Μόνα μειονεκτήματα ο μη συγχρονισμός τρέχουσας θέσης ανάγνωσης των αρχείων pdf καθώς και οι φτωχές δυνατότητες ταξινόμησης, δημιουργίας φακέλων κλπ.

Τετάρτη, Απριλίου 16, 2014

Φυσική του ποδηλάτου, μέρος Ι: το φρενάρισμα

Από τις πιο καλές ερωτήσεις που μου έχει κάνει μαθητής (και νυν φοιτητής) στη φυσική της Γ' Λυκείου είναι η εξής: σε ένα ποδήλατο που τρέχει και θέλουμε να το σταματήσουμε, εμείς ασκούμε δύναμη στις μανέτες των φρένων, τραβιέται το συρματόσκοινο και τα τακάκια ασκούν δύναμη τριβής πάνω στον τροχό και το ποδήλατο σταματά. Το σύστημα των φρένων, ο αναβάτης, η ρόδα και το υπόλοιπο ποδήλατο είναι ένα σύστημα και η δύναμη της τριβής μεταξύ τακακιών και τροχού είναι εσωτερική στο σύστημα αυτό. Αφού είναι εσωτερική γιατί το ποδήλατο σταματάει; Πως γίνεται οι εσωτερικές δυνάμεις να σταματούν το ποδήλατο;

Η απάντηση που έδωσα στην τάξη (αρκετά συνοπτικά χωρίς να χρειαστεί να γράψω στον πίνακα τύπους/σχήματα που θα διέκοπταν τη ροή του μαθήματος) είναι ότι αυτό που σταματά το ποδήλατο είναι η τριβή των τροχών με το δρόμο. Τα τακάκια επιβραδύνουν τον τροχό, ο οποίος τείνει να ολισθήσει σε σχέση με το οδόστρωμα, με αποτέλεσμα να αναλαμβάνει δράση η στατική τριβή και να επιβραδύνει το ποδήλατο. Το ότι η τριβή με το οδόστρωμα είναι απαραίτηση για να σταματήσει το ποδήλατο το καταλαβαίνεις όταν προσπαθείς να φρενάρεις σε πάγο ή γενικά σε ολισθηρό οδόστρωμα: απλώς δεν σταματάς, πατάς το φρένο, ο τροχός ακινητοποιείται εύκολα αλλά το ποδήλατο δε σταματά. Η τριβή τακακιών/τροχού κάνει τη δουλειά της (η οποία είναι να επιβραδύνει/σταματήσει) τον τροχό αλλά χρειάζεται και τριβή με το οδόστρωμα για να σταματήσει το ποδήλατο. Η συζήτηση στην τάξη σταμάτησε εκεί, αλλά εκ των υστέρων σκέφτηκα ότι όλα τα παραπάνω θα μπορούσαν να αποτελέσουν "σενάριο" για ένα πρόβλημα που μπορεί να δοθεί στους πιο απαιτητικούς μαθητές που θέλουν να εμβαθύνουν λίγο περισσότερο στην αντίστοιχη φυσική.

Έκτοτε, αφού δούλεψα λίγο την ιδέα στο μυαλό μου, έφτιαξα ένα μικρό σετ από απλά προβλήματα που αφορούν τη φυσική του ποδηλάτου, και ειδικότερα του φρεναρίσματος. Τελευταία, βρήκα το χρόνο να μαζέψω όλες αυτές τις χειρόγραφες σελίδες από τις σημειώσεις μου και να τις γράψω στον υπολογιστή, σαν ένα μικρό άρθρο με το φιλόδοξο τίτλο "Μηχανική του Ποδηλάτου". Στο πρώτο μέρος, που παρουσιάζω σήμερα εδώ, αντιμετωπίζω το ζήτημα του φρεναρίσματος, που ήταν και το αρχικό έναυσμα για τον προβληματισμό μου. Σύντομα σκοπεύω να γράψω αντίστοιχα άρθρα σχετικά με τη μετάδοση της κίνησης καθώς και με ζητήματα που αφορούν την ενέργεια. Τα άρθρα αυτά μπορούν να φανούν χρήσιμα κυρίως σε καθηγητές που θέλουν να εντάξουν κάποια επιπλέον εφαρμοσμένα προβλήματα στο -ομολογουμένως πολύ στεγνό- μάθημα κατεύθυνσης της Γ' Λυκείου αλλά και σε απαιτητικούς μαθητές που θέλουν να εμβαθύνουν λίγο περισσότερο στη φυσική του ποδηλάτου χωρίς να ξεφύγουν πολύ από το πνεύμα των εξετάσεων. Στη συνέχεια ακολουθεί το πρώτο από τη σειρά των άρθρων που αφορά το φρενάρισμα. Μπορείτε επιπλέον να το κατεβάσετε το μορφή pdf από εδώ ή να το δείτε και σε μορφή html εδώ.